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Alle Elemente eines Vektorraumes werden so genannt

Wenn es nur ein Etwas gäbe(zB. Nur eine Zahl,) dann bräuchte dies auch keinen Raum herum (ausser den es selbst einimmt). Da es aber mehrere Zahlen (Natürliche, Ganze, Rationale, Irationale, Reelle, Komplexe ...)und Gebilde (Polynome, Funktionen, Vektoren, Matrizen) gibt, müssen wir den math. Strukturen, die sich verändern (va. Zusammenzählen und Strecken) lassen einen Raum zu geben, in dem die grundlegenden Operationen definiert sind

Wenn es nur einen Ursprungspunkt gäbe und wir alle Rechnungen sowie Messungen ausgehend von diesem universellen Nullpunkt machen müssten, WÄRE DIES VIEL ZU KOMPLIZIERT. In der linearen Algebra lässt man dem Anwender aber liberal einen Ursprung sowie weitere Bezugspünkte (Wahl eines Koordinatensystems oder einer geeigneten Basis) schaffen, die auf möglichst einfacher Art und Weise zu einer Lösung führen sollen. Unabhängig von Ort und Basis müssen aber gleiche Operationen immer zu gleichen Ergebnissen führen.

Dank den Definitionen lassen sich auch Operationen in verschiedene, unendlich ausdehnbare, imaginäre oder digitalisierte Räume transferieren, so dass schlussendlich die Realität (Eine 2. dimensionale Bewegung lässt sich auch in einem 3D-Raum berechnen ist aber nicht nötig) dadurch so wenig wie möglich verfälscht wird (Wir möchten z.B. unsere Stimmen auch per Funk verstehen können)

Ein Vektorraum, der eine Teilmenge eines Vektorraumes ist

der Kleinste Vektorraum

Vektorräume VR, keine Grenze in allen Richtungen
lineare Abhängigkeit/

lineare Unabhängigkeit

Dimension

Basis

orthonormierte Basis

Skalarprodukt einer orthonorm. Basis

Ich habe n Vektoren aus einem Vektorraum E mit diesen n Vektoren kann ich untereinander addieren oder sie mit einem Wert aller Reellen multiplizieren, so dass es Linearkombinationen gibt. Es gibt schlussendlich die Menge aller Linearkombinationen, die ein Unterraum von E bilden Die n Vektoren bilden Ein Erzeugendes System für alle Linearkombinatinen Ich habe den Kern einer injektiven linearen Abbildung es ist ein Unterraum aus der Definitionsmenge und er ist gleich dem Nullvektor Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Unterraum der Wertemenge f(x)=??? Die Dimenstion der Definitionsmenge ist gleich der Summen der Dimensionen des Kernes sowie des Bildes der Abbildung hier fehlen noch Erklärungen Eigenvektor Eigenwerte